Persamaan garis singgung pada \( y=\sec^2 x \) pada titik yang berabsis \( \frac{\pi}{3} \) adalah…
- \( y = 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)
- \( y = 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+4 \)
- \( y = -8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)
- \( y = -8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+4 \)
- \( y = 4\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)-4 \)
Pembahasan:
Pertama kita cari gradient dari kurva \(y\) di titik \(x = \frac{\pi}{3}\) terlebih dahulu. Karena gradien nya sama dengan turunan pertama dari \(y\), maka diperoleh:
\begin{aligned} f(x) = y &= \sec^2 x \\[8pt] m &= y' = 2 \sec x \cdot \sec x \tan x \\[8pt] m &= y' = 2 \sec^2 x \cdot \tan x \\[8pt] f'\left( \frac{\pi}{3} \right) &= 2 \sec^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) \cdot \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= 2 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \end{aligned}
Selanjutnya, untuk \( x = \frac{\pi}{3} \) maka nilai kurva \( y \) yaitu:
\begin{aligned} f(x) = y &= \sec^2 x \\[8pt] f\left( \frac{\pi}{3} \right) &= \sec^2 \left( \frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] &= 2^2 = 4 \end{aligned}
Dengan demikian, persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) yaitu \( \frac{\pi}{3}, 4 \) dan bergradien \( m = 8\sqrt{3} \) adalah…
\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-4 &= 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \\[8pt] y &= 8\sqrt{3} \left( x-\frac{\pi}{3} \right)+4 \end{aligned}
Jawaban B.